【雑学】グロタンディーク素数とは？57って素数！？

こんにちは！Macloです。

突然ですが、皆さんは57が素数かどうかわかるでしょうか。

肯定ペンギン

3×19で表せるから素数じゃない！

否定ペンギン

簡単すぎるわよ！

2人の言う通り、確かに57は素数じゃありませんね。

しかし、57は

「グロタンディーク素数」

と呼ばれています。

いかにもクイズ番組に出てきそうな言葉ですね笑

57が「グロタンディーク素数」と言われる理由

57が素数と言われる所以は、「アレクサンドル・グロタンディーク」という数学者が関係しています。

グロタンディークは20世紀を代表する数学者であり、彼の講義は非常に抽象的な講義でした。

ある日、数学についての講義をしていたところ、こんな質問があがりました。

生徒

先生の話、抽象的でよくわかりません

生徒

何か具体的な例を出してもらえませんか？

そうですね、そしたらこの素数を57として・・・

みなさんは既にお気づきだと思いますが、57は素数ではありません。

ただし、具体的な素数の例示を求められた時に57を挙げたことによるこのエピソードから、
「グロタンディーク素数」という名前が付けられています。

グロタンディーク先生が言うのだから、57は素数ですね。

メルセンヌ素数の面白い特徴

もう一つクイズ番組によく出てきそうな素数を紹介します。

それは「メルセンヌ素数」と呼ばれる素数です。

メルセンヌ数と呼ばれる数が一般的に下記の形で表され、その中でも素数になるものを特にメルセンヌ素数と呼びます。。

2ⁿ-1

すなわち、メルセンヌ素数を小さい方から並べると、3, 7, 31, 127・・・となります。

メルセンヌ素数にはいくつかの面白い特徴があります。

特徴1.  2n − 1 が素数ならば n もまた素数になる。

特徴2. 2p − 1 が素数ならば、2p−1(2p − 1) は完全数である

完全数というのは、自分自身を除いた正の約数の和に等しくなる自然数のことです。

例えば、6は完全数です。

6の約数：1, 2, 3, 6

自身である6を除いた約数1, 2, 3を全て足すと、自分自身である6になります。

このような数を「完全数」と呼びます。

完全数は小さい方から、6, 28, 496, 8128・・・となっています。

ここで、小さい方から先ほどの式に当てはまるか見ていきましょう。

（p=2のとき）
（2^p-1）×（2^p-1）=2×3＝6

（p=3のとき）
（2^p-1）×（2^p-1）=4×7＝28

（p=5のとき）

（2^p-1）×（2^p-1）=16×31＝496

このように、メルセンヌ素数と完全数にはとても面白い関係があるのです。

これらの素数の話は、知っているとちょっと誰かに自慢したくなるような話ですよね。

以上、素数の面白い話でした！